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PROF JOHN FABKAK, LL.D,
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TABLE
DES
QUARTS DE CAREÉS
de tous les nombres entiers de 1 à 200000
SERVANT
à simplifier la multiplication, rélévation au carré ainsi que l'extraction de la racine carrée,
et à rendre plus certains les résultats de ces opérations
CALCULÉE ET PUBLIÉE
PAR
Joseph Blater
PARIS,
GAUTHIERVILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES
DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
Quai des Grands-Augustins, 55.
1888.
(TOUS DROITS RÉSERVÉS.)
Imprimerie JEAN FALK III. Mayence.
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A
M. ANTOINE STEINHAUSEE
DE
CONSEILLER ROYAL-IMPÉRIAL DE GOUVERNEMENT,
CHEVALIER DE L'ORDRE DE FRANÇOIS-JOSEPH,
MEMBRE- HONORAIRE DES SOCIÉTÉS" GÉOGRAPHIQUES DE VIENNE ET D'ANVERS,
DE LA SOCIÉTÉ DE GÉOGRAPHIE DE BERLIN
ET DE LA SOCIÉTÉ DE GÉOGRAPHIE INTÉRIEURE DE LA BASSE AUTRICHE ,
EN RECONNAISSANCE DU SES EXCELLENTS CONSEILS ET COMME
TEMOIGNAGE DE L'ACTIVE IMPULSION
QU'IL A DONNÉE A L'EXÉCUTION DE CETTE TABLE,
JE SUIS HEUREUX DE DÉDIER MON TRAVAIL
J. BLATER.
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Préface.
Quoique je ne soîs pas un profond initié dans les sciences mathématiques, mais seulement un amateur,
j'ose, pour répondre au désir de l'auteur, mais seulement à ce titre, recommander à l'attention des mathématiciens
cet ouvrage, fruit d*un travail opinâtre soutenu pendant des années; et cela parce que je partage cette con-
viction de l'auteur que sa Table peut être employée avec un avantage réel chaque fois qu'il s'agira d'obtenir
les résultats de facteurs k s et à 6 chiffres, demandés exacts jusqtCà leurs derniers chiffres. Sous ce rapport,
elle donne des résultats supérieurs à ceux obtenus à l'aide des Tables de Logarithmes à 7 chiffres qui, après
une triple opération et le secours des Tables proportionnelles auxiliaires ne peuvent donner le résultat
qu'avec 7 chiffres dont le dernier est incertain. Avec celle-ci, au contraire, par la simple multiplication par 2
du nombre d'entrée, on obtient les carrés de tous les nombres de i à 100,000 et réciproquement, en prenant
la moitié de ce même nombre d'entrée les racines carrées des nombres de dix chiffres et plus, jusqu'à
dix chiffres.- En outre, conune on le verra dans le chapitre relatif à l'usage, les limites de la Table peuvent
être encore reculées, à l'aide de petits calculs auxiliaires et d'artifices, de telle sorte que les produits de facteurs
à 6 chiffres et les carrés jusqu'à 100,000 et au de là s'obtiennent avec la plus grande facilité. Ajoutons
encore que la Table, malgré les immenses résultats donnés, ne comprend que 200 pages ; ce format restreint
dont il est inutile de faire ressortir les avantages, s'explique par ce fait que 100,000 facteurs correspondent
à la même somme et 100,000 autres, à la même différence : une table dressée sur une telle base ne doit
naturellement nécessiter que cent mille fois moins d'espace qu'une autre donnant lés résultats avec toute l'extension
qu'ils comportent. — Comme la Table de J. G. Herwart (Munich, 16 10) présente les produits de tous les facteurs
de 3 chiffres en un grand in-folio et comme celle de Crellè (Berlin, 1820) a besoin pour le même résultat de
deux forts volumes in-8, une Table donnant les résultats des facteurs de 5 chiffres et dressée à l'aide des
même procédés nécessiterait 10,000 in-folios ou 20,000 in-octavos, parce que l'espace nécessaire croît propor-
tionnellement aux carrés. A ce premier avantage s'en joint un second de même nature, la possibilité (T économiser
plus de 2,000,000 de chiffres sans augmenter cependant la difficulté que pourrait présenter l'emploi de la Table.
Par la distinction des chiffres de tête en nombres pairs et impairs, par la subdivision des nombres de la Table
en initiaux qui servent pour toute une rangée, en médians et en finaux qui appartiennent à toute une colonne,
l'espace, déjà considérablement restreint, se trouve encore une fois réduit au quart.
Après cette énumération des avantages que peut présenter une Table basée sur les totaux et les
différences des facteurs et dont le principe [ab = V4 (a + b)* — V* (a — ^b*] se trouve déjà dans la Géométrie
d'Euclide (II, 5), on est nécessairement amené à penser que l'établissement de Tables de ce genre doit déjà
avoir été tenté dans l'antiquité, qu'elles se sont développées avec le temps et qu'elles ont conquis parmi les
Tables auxiliaires une position durable^ et cependant, l'étude historique de la question ne donne pas raison
à cette supposition. Bien que Ludolff, en 1690, et après lui Séguin aîné, en 1801, aient montré la possibilité
de dresser des Tables de carrés pour la résolution des multiplications, ce ne fut que quinze ans après la
dernière de ces deux dates que l'ingénieur A. Voisin fît paraître la première Table de multiplication de ce
genre (Paris, 1816, chez Mme Vve Courcier, 150 p.). Table qui allait jusqu'à 20,000 (et calculée, par consé-
quent, pour des facteurs de 4 chiffres). L'année suivante parut la Table de A. P. Burger (Carlsruhe, 181 7,
81 p., in 8°) concordant absolument avec celle de Voisin, quant à l'étendue et à la disposition primitive. Voisin
avait donné à sa Table le nom inexact de logarithmes^ et Gergonne critique cette appellation dans le volume VII
de s^LS Annales de Mathématiques (?ds\s, 181 7). Dans sa conclusion. Voisin annonce une seconde édition devant
atteindre jusqu'à 100,000 (somme de facteurs), mais qui ne parut sans doute pas puisqu'aucune note bibliographique
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6
n'en fait mention. En 1825 parurent les Tables de multiplication et et élévation au carré ^nouvellement inventées* par
J- J. Centnersdiwer (Berlin, chezMaurer), allant également à 20,000 et disposées selon un plan nouveau mais passable-
ment compliqué, avec des colonnes doubles et des feuilles de grand format qu'on devait déplier pour les consulter.
Aussi cet auteur annonce dans sa préface qu'il a terminé le manuscrit de la suite jusqu'à 100,000 et qu'il est prêt à
le faire paraître \ la publication de cette seconde partie n'eut pas lieu non plus. — Sept années s'écoulent maintenant
jusqu'à l'apparition de la Table des Quarts de Carrés de i à 40,000, par % M. Merpaut (Vannes, 1832) et vingt
autres années jusqu'à ce que J. P. Kulik^ professeur de Mathématiques supérieures à Prague, fasse paraître
ses Nouvelles Toiles de multiplication (Leipzig, 1852, chez F. Fleischer), ouvrage composé: i de la grande
Table de Pythagore (13 p.) c'est-à-dire des produits des facteurs de 2 chiffres et 2^ d'un supplément de 40
pages donnant tous les produits juscju'à la somme de facteurs 30,000. C'est l'arrangement de cette petite
Table qui servit à M. Blater de modèle pour la sienne, augmentée jusqu'à 200,000, avec cette différence toute-
fois, que, pour la plus grande commodité de la disposition, les colonnes verticales de la Table de Kulik furent trans-
formées en rangées horizontales et réciproquement. En comparant ceux des nombres calculés par Kulik qui
se retrouvent dans la Table de Blater, 30 erreurs furent relevées. Cest en 1833 que Kulik avait donné l'idée
de cette Table ; dans son introduction on trouve en effet ces mots : c L'établissement de la seconde Table repose sur
un artifice non encore employé dans le calcul, et par lequel la multiplication de deux nombres se ramène à la
soustraction de deux autres nombres pris dans la Table.» En 1856 parut à Londres une Table de Quarts de
carrés de S. Z. Laundy, calculée pour des facteurs à 5 chiffres et atteignant la somme de facteurs 100,000. Dans le
compte-rendu (Londres, 1874) de la 43* réunion (septembre 1873) de la British Association for advancement of
Science, Glaisher exprime ce vœu: cit would be désirable, however and we should much like to see the publication
of a quarter-square table of the numbers from 100,000 to 200,000.» Les paroles de Glaisher peuvent paraître
quelque peu étranges, car Laundy dît dans sa préface, qu'il existe un manuscrit d'une Table des Quarts de Carrés
jusqu'à 200,000, calculée par le major Shortrede, bien connu pour ses grandes Tables de Logarithmes, et qu'elle
se trouve entre les mains de M. Peter Gray. Puis donc que la table de Shortrede n'a pas été publiée,
seule celle de Blater vient repondre au désiratum signalé par Glaisher, et demeure la seule ayant une étendue
si grande sous un volumme si restreint.
Bien que les entreprises de ce genre n'offrent absolument aucun espoir de rémunération pour le
temps et la peine qu'elles ont coûté, rien ne put néanmoins entraver le patient travail de M. Blater, qui,
persuadé de l'utilité de son œuvre, l'acheva courageusement sans aucun objectif d'intérêt, la fit stéréotyper
et imprimer à ses frais et l'offre aujourd'hui à tous ceux qui se servent des nombres, dans une correctitude
aussi complète que possible, due à une triple vérification. La Table de Laundy lui fut malheureusement connue
trop tard pour permettre une nouvelle comparaison.
La faible part que j'ai prise à l'achèvement de la Table se résume en ceci : c'est par moi que M.
Blater apprit à connaître la Table de Kulik, sur mon conseil il approfondit les essais antérieurs, il eut enfin
recours à mon avis sur la forme à adopter, sur les limites à atteindre, sur l'admissibilité des artifices décou-
verts par lui et sur l'utilité d'un index.
L'objet principal, j'entends le calcul et la vérification^ n'appartiennent qu'à Blater. Mais il a encore
fait mieux. Comme la Table ne se prête à simplifier la division qu'à l'aide d'une Table des Réciproques
d'une importance égale et qu'elle ne présente aucun avantage sur le calcul ordinaire pour des multiplications
dont les facteurs ont 8, 9 et 10 chiffres, il y a joint sfac jeux des dix baguettes de sa TaJble de Napier,
permettant d'obtenir plus facilement et avec moins de chances d'erreurs, par voie cCaddition les résultats des
multiplications à grands nombres.
Puisse l'œuvre si utile de Blater trouver tout l'assentiment qu'à mon sens elle mérite à bon droit!
Antoine Steinhauser.
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Introduction.
oi le présent ouvrage voit aujourd'hui le jour, îl le doit surtout à l'active collaboration du conseiller
Antoine Steinhauser, dont la réputation s'est étendue au loin, tant à cause de ses écrits concernant la géo-
graphie mathématique que par la publication de plusieurs ouvrages de mathématiques tabulaires*.
Bien loin de pouvoir me targuer d'être un mathématicien et n'étant pas, comme lui, familarisé avec
la science des nombres, je dois bien des révélations à ce savant, soit par la lecture de ses ouvrages, soit par
une correspondance épistolaire à laquelle il s'est prêté avec le plus bienveillant empressement. C'est par l'en-
voi qu'il me fit des Tables de Multiplication de Kulik que j'appris à connaître cette sorte de Tables auxiliaires
et que, convaincu de la nécessité d'une extension de celle-ci jusqu'à 200,000, je pris la résolution de calculer
la Table que je présente aujourd'hui au public.
Pendant une année et demie, consacrée à l'accomplissement de ce travail, j'eus le bonheur de me sentir
appuyé par la réelle sympathie de cet homme, ayant atteint au milieu de ses études l'âge vénérable de 84
ans et qui, malgré ses propres travaux, ne trouva jamais trop grands les sacrifices de temps auxquels il con-
sentit pour me donner les conseils désirés, conseils auxquels je dois la forme de table adoptée, qui me gui-
dèrent dans la partie explicative et me donnèrent l'idée de l'Index. Tout cela fut fait d'ailleurs avec le plus
entier désintéressement et je me permets d'exprimer ici à M. A. Steinhauser le témoignage public de ma gratitude.
Il faut penser que les ouvrages cités dans la préface et dus à six de mes prédécesseurs n'ont en gé-
néral pas satisfait ceux qui s'en servirent, soit parce qu'ils ne montaient pas assez haut l'échelle des nombres,
soit parce que leur organisation aura paru trop compliquée, peut-être parce que la découverte de fautes typo-
graphiques leur aura retiré la confiance; le fait est que la plupart de ces ouvrages n'existent plus en
librairie et qu'ils sont difficiles à trouver même à l'étalage du bouquiniste.
Le désir d'obvier à tous ces inconvénients et la persuasion qu'un ouvrage aussi utile qu'une table de
calcul doit être vierge de toute inexactitude, s'il veut garder sa valeur entière, m'ont amené à prendre toutes
les précautions imaginables pour la bonne issue desquelles je n'ai économisé ni mon temps ni ma peine. C'est
à cette fin que j'ai calculé deux fois la Table et chaque fois dans un ordre différent pour rendre totalement
impossible le retour de la même erreur. L'un de ces deux manuscrits fut confié aux mains de l'imprimeur
pour l'exécution typographique de l'ouvrage et je conservai l'autre afin de vérifier les épreuves qui m'étaient
livrées. Mais, comme il se pouvait encore qu'une faute se fut glissée dans les colonnes, chaque page fut
calculée de nouveau par une méthode différente des deux premières, et la révision fut continuée jusqu'à
complète certitude que toutes les fautes rencontrées avaient été corrigées. Je ne tiens pas pour propable,
qu'après ce pénible mais utile travail, une faute quelconque ait pu échapper à notre attention.
* Bases fondamentales de la géographie mathématique et de la projection des cartes géogr. (3» éd., Vienne 1887, chez
F. Beck). — Tables des dimensions du sphéroïde terrestre, Vienne 1885 (publication périodique de géogr. scientifique). —
Tables servant à ramener au système métrique les mesures données dans le système viennois (Vienne 1 880, chez Hôlder).
— Tables auxiliaires pour le calcul exact des log. à 20 chiffres et des nombres y correspondant (Vienne 1880, chez C.
Gerold fils). — Petite table auxiliaire pour les log. à 15 chiffres (Vienne 1865, chez F. Beck). — Appendice à toutes
les Tables allemandes de logarithmes, contenant deux tables auxiliaires pour calculer les log. à 11 chiffres (Vienne 1857,
chez F. Beck). —
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8
M. Jean Falk, imprimeur à Mayence, confia la composition typographique de l'ouvrage à son plus
habile ouvrier, M. Knodé, qui, particulièrement familarisé avec les nombres tétragonaux, réussit à composer
sans fautes un certain nombre de pages et à ne faire que fort peu de coquilles dans les autres. Il fut le
seul typographe employé à la confection de ce livre qui l'occupa onze mois entiers sans discontinuité.
Une seule parmi les Tables de carrés existant jusqu'à ce jour, à savoir celle de Kulik (Prague 1 848),
comporte une étendue égale à celle du présent ouvrage (les autres n'allant en général que jusqu'à 10,000), ma
Table tient donc le premier rang et rend inutile la possession de ces différents ouvrages. Néanmoins, une
Table des réciproques suffisante sera très utile, car, avec son secours, notre Table peut servir à abréger la
division en la transformant en multiplication du dividende par le réciproque du diviseur. La plus grande Table
de réciproques est celle de Oakes (Londres 1865) qui monte jusqu'à 100,000 et permet, à l'aide de Tables
proportionnelles, de donner 7 décimales aux réciproques jusqu'à 10,000,000. Nous montrerons plus loin comment
la Table de Quarts de Carrés et celle des Réciproques fonctionnent ensemble et dans quelles limites leur action
conunune peut être utile.
En publiant cet ouvrage, j'espère qu'il ne demeurera pas dans le cercle restreint des mathématiciens,
mais que son utilité sera reconnue dans un public plus nombreux où des résultats précis sont également
demandés au calcul.
Son prix très modique* (surtout si on le compare au temps, à la peine et aux frais qu'il a exigés)
rendra son emplette possible à toutes les bourses.
La Table des Quarts de Carrés de Laundy (Londres 1856) coûte 21 sh. et n'atteint que moitié aussi loin que ma table qui,
sous le même format, devrait proportionnellement coûter le triple.
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9
Disposition et nsage de la Table.
§ I.
Qu'on onyre la table au hasard et l'on s'apercevra aussitôt
de la dépendance des deux pages placées yis-à-yis, par les signa-
tures a à gauche et 6 à droite ; chaque page à deux subdivisions
marquées par les chiffres romains I et II et comprend 12 colonnes.
La première de celles-ci, désignée par le signe N -\-n est destinée,
en tant que colonne d'entrée à la recherche des nombres de la
Table au moyen des arguments déjà formés , c'est-à-dire de la
sotnme et de la différence des facteurs. Les mille de ces argu-
ments inférieurs à 100 se trouvent : s'ils sont pairs dans la divi-
sion I, s'ils sont impairs dans la division II, à gauche; mais se
trouvent-ils entre 100 et 200, alors il faut chercher les pairs dans
la division I et les impairs dans la division II, à droite. Quant
aux autres chiffres pour les centaines, les dizaines et les unités,
on les trouvera inscrits en tôte des colonnes dans la rangée -|~ ^
et ils restent les mêmes dans les quatre subdivisions. La raison
qui a fait distinguer les mille en pairs et en impairs repose sur
la différence des chiffres finaux des nombres tabulaires et sur le
désir de restreindre la Table en évitant la répétition indéfinie des
nombres finaux, sans cependant compliquer les recherches.
§ 2.
Les nombres tabulaires remplissent l'espace occupé par la
colonne A, par les dix colonnes de B et par la rangée du bas
désignée par la lettre C; les Chiffres initiaux se trouvent en A,
les chiffres du milieu dans les dix colonnes de B et les chiffres
finaux en et cela de telle façon que les trois parties composant
A B 1® nombre forment un angle droit. A se trouve à l'extré-
mité d'une des branches de l'angle, B occupe le sommet
et termine l'angle. Les chiffres en A servent en
commun pour toute la ligne correspondante de B et
C ceux de C pour toute la colonne correspondante de B,
ce qui nous économise une incroyable répétition (environ 2,250,OCX>
chiffres). Si nous retranchions C, la Table aurait la plus grande
analogie avec une table de logarithmes, spécialement par ceci,
que les chiffres médians marqués d'une astérique (^) font aug-
menter d'une unité le chiffre final de A. Le désir d'éviter une
faute entraîne la précaution, de rechercher d'abord les ohiffires
correspondants en B et de ne copier qu'ensuite ceux en A.
§ 3.
Les nombres tabulaires (quarts de carrés des nombres d'entrée
ou carrés de leur moitié) croissent en progression géométrique de
CXX> à 999, d'abord en a I puis en a II, encore une fois de qoo
à 999, et ainsi ligne pas ligne en alternant entre a I et a II. Une
fois la page de gauche terminée et lorsque A débute par 2500,
la progression commence de la môme façon sur la page de droite,
ligne par ligne et passant alternativement dans les subdivisions
b I et b II. L'Index joint à la Table présente un aperçu très net
de la progression constante de 5 à 5 pages et a pour but de fa-
ciliter la recherche d'un nombre donné en désignant la page, la
subdivision et la ligne. Si l'on compare les nombres tabulaires
avec les moitiés correspondantes de N -|- n (racines des carrés),
on voit que chaque nombre de la rangée est plus grand de 0,5
que le précédent, et par suite, que pour n pair on trouve des
nombres entiers et des nombres fractionnaires avec la décimale
0,5 pour n impair^.
§4.
La table s'applique à quatre usages principaux:
L A la multiplication de facteurs à 4, 5 ou 6 chiffres.
^ Pour les racines avec la décimale 0,5, le carré complet est plus
fort de la fraction 0,25 négligée dans la Table. Cet abandon est sans in-
fluence sur Texactitude da résultat dans les multiplications ordinaires faites
à Taide de la Table; nous montrerons plus loin dans quel cas cette frac-
tion doit être prise en considération pour des opérations plus importantes.
n. A l'élévation au carré de nombres donnés jusqu'à ICX^^OCX) et
au delà.
m. A l'extraction des racines carrées de nombres donnés jusqu'à
la limite supérieure de I0,0CX>,CXX>,000.
IV. A la division avec l'aide d'une Table des réciproques y appro-
ftb T
priée, par la transformation de — en ab X --
a a.
On peut encore employer la différence entre la racine carrée .
du dividende et le diviseur, pour trouver par une proportion la
différence entre la racine et le quotient encore inconnu et par
suite, ce dernier lui-même. Par la différence du demi-carré du
diviseur et du dividende, on peut trouver la quantité dont on
doit augmenter ou diminuer le diviseur pour obtenir le quotient.
Mais tous ces détours n'économisent ni temps, ni peine, ni écriture,
exigent plusieurs calculs auxiliaires et nécessitent l'attention la
plus soutenue. H est donc plus simple, si l'on n'a pas une Table
de réciproques sous la main, de se servir de la Table de loga-
rithmes, si l'on se contente d'un quotient à sept chiffres ou, sinon,
de s'en tenir à la vulgaire division arithmétique, que l'on peut
simplifier à l'aide des baguettes de Napier.
Je crois qu'avant de pénétrer plus avant dans l'explication
plus approfondie de l'usage de la Table, il n'est pas superflu de
faire remarquer que celle-ci n'est pas destinée à faire des calculs
avec deux ou trois chiffres, calculs pour lesquels il existe des
Tables suffisantes; mais bien à simplifier des opérations oii figu-
rent des nombres plus étendus, spécialement lorsque l'on veut ob-
tenir le résultat exact jusqu'aux derniers chiffres, ce à quoi les
logarithmes ordinaires ne répondent pas. Il va de soi qu'U y a
aussi une limite supérieure où l'utilité de la Table cesse, où elle
ne présente plus aucun avantage sur le calcul ordinaire et où la
Table de Napier prend la première place comme moyen de sim-
plification.
L Multiplication.
§5.
Après les explications données ci-dessus, notre usage de la
Table ne demande plus que quelques indications.
Supposons deux facteurs donnés; il faut former par voie
d'addition et de soustraction de ces deux facteurs, les arguments
que l'on cherche alors dans la colonne d'entrée (N -|- °) 9 on relève
d'abord l'argument de la somme qui doit être plus petit que 200,000,
puis l'argument de la différence. On cherche la page qui contient
n (droite ou gauche, a ou b selon que l'argument est plus grand
ou plus petit que 1 00,000), puis la subdivision I ou H (chiffres
des mille , pair ou impair) enfin la colonne ^ n et la ligne hori-
zontale qui corresponde en N au chiffre de mille des arguments. —
Si le nombre trouvé en B n est précédé d'une astérique (*), il
faut, comme nous l'avons dit déjà, augmenter d'une unité le chiffre
final du nombre correspondant en A. Ceci étant fait, on copie
A B et les chiffre finaux placés dans la dernière ligne (C) de cette
môme colonne ; on écrit au dessous le nombre obtenu de la même
manière pour le second argument, on opère la soustraction de deux
carrés et on obtient ainsi le produit des deux facteurs donnés.
Exemples.
L a = 93319 Nombres tabulaires
b = 33674 A B
(a 4. b) = B = 126993 = 4031 805
(a — b) -= d = 59645 = 889 381
s* d*
1 _ _ = ab = 3142 424
4 4
C
512
506
006
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jC
10
IL a = 9697 s
b = 92764
Nombres tabulaires
ABC
* A a été augmenté
s = 189739 = 9000* 222 030 d'une unité parce que
d = 421 1 = 4 433 ^ 30 le nombre trouvé en B
2
était précédé d'une
- — - = ab == 899s 788 900
4 4
Remarque. Ces facteurs pourraient tout aussi bien être for-
més de fractions décimales ou de nombres fractionnaires, pour
lesquels l'exécution resterait absolument la même. Ex. 93,319 X
3,3674 = 3I4,2424CX)6 ou 0,96975 X 9.2764= 8,9957889 ou
0,93319 X 0,033674 = 0,03142424006.
§6.
Lorsque les arguments des sommes et différences de facteurs
dépassent les limites de la Table, mais si tous deux sont divisibles
par 2 ou par 3 on obtiendra par voie de division des arguments
avec lesquels on pourra procéder à la recherche du produit ; mais
celui-ci devra être multiplié par 4 ou par 9 selon qu'on aura divisé
les arguments par 2 ou par 3.
Exemples.
Facteurs
Nombres tabulaires
( 198383
I248U3
( 346496
Arguments { ^^^^
divisés par 2 { '73^48 = 75037I7376
1 25135 = 15 7942056,25 1
7345775319/75
multiplié par 4 = 29383 101279
Facteurs
I 241320
1 200715
Argu-^ents | ^42035
^ l 40605
f 147345 Nombre tabulaire 5427637256
dx..Bé par 3 { ,3535 ^ 45799056
5381838200
multiplié par 9 =« 48436543 800
f On ne peut pas négliger la fraction 0,25 lorsque des deux
arguments un seul est impair.
9 7'
Afin d'éviter la division des arguments et la multiplication
du produit, on peut plus simplement procéder à la multiplication
de deux facteurs contenus entre ioo,000 et 200,000, en posant
ab = 2 I ^ -I I ; mais dans ce cas, il ne faut tenir
V4 ^4 4 /
compte dans lois nombres tabulaires correspondant a des arguments
impairs, de la fraction négligée 0,25 seulement lorsque les deux
facteurs sont impairs, sinon on continue à la négliger. On peut
se dispenser d'écrire cette fraction, en augmentant finalement d'une
unité le double du produit. — Une autre simplification consiste à rem-
placer le nombre tabulaire correspondant à (a— b) par son complément
à 10, la soustraction disparait et tout se résume en une addition.
Exemple :
Nombres tabulaires Nombres tabulaires
9838 953 672,25 9838 953 672
5484 365 192,86 ou 5484 365 192
Facteurs
a = 198 383 =
b = 148 113 =
(a — b) = 50 270 :
15323 318 864;s
631 768 225
V» ab = I4691 550639,5
ab = 29383 lOl 279
I368 231 775 ImeS
14691 550639X2-I-1
29383 loi 279
§8.
En faisant quelques petits calculs accessoires, on peut étendre
les services rendus par la Table à des facteurs de plus de 5 chiffres.
Supposons deux facteurs à 6 chiffres ; nous retrancherons à chacun
le dernier chiffre, nous chercherons les arguments des nombres
ainsi formés, nous formerons le produit comme d'ordinaire et nous
le terminerons par deux zéros; ceci fait, nous additionnerons à
ce produit les produits alternés des facteurs (en remplaçant leur
chiffre final par o) par les chiffres retranchés et enfin le produit
de ces deux derniers chiffres. — On peut aussi retrancher les
chiffres en tête ; ce qui changera la correspondance avec la Table
et la valeur relative des produits secondaires. — Exemple:
154335
31089
185424
123246
5
3
Nomb. tab. 8595514944
3797394129
4798 1208 1500
1543350X3 4630050
310890X5 1554450
3X5 15
4798 182660 15
Des logarithmes à 7 chif-
fres n'auraient donné, après
une triple recherche et avec
le secours des Tables de pro-
portion, que sept chiffres dont
le dernier aurait été inexact
de 5 dixièmes.
Dans le cas oii ce seraient les chiffres de tête qui auraient
été retranchés, le cacul précédent se transformera comme suit:
jcÎAi7ct Maltiplication ordinaire fiiite à
1 5 1 43 J 5 5 i»aide de la Table de Napier.
3 1 1 0893 Nombres tabul. 1 543 3 5 5
310893
Arguments j 54^f = 73S7II376
^ \ 32462 = 263445361
472266015
1500000 X 10893 = 163395
300000 X 43355 = 130065
300000X^500000 =45
47981 826601 5
4630065
1389019s
12346840
1543355
4630065
47981 826601 5
En plaçant ainsi la multiplication ordinaire en regard, on toit
que lorsque l'on dépasse les limites de la Table (facteurs à 5
chiffres) ne fût-ce que d'un rang, la Table, à cause des calools
auxiliaires, perdra d'autant plus ses qualités de rapidité et do
commodité, que le nombre des chiffres du produit sera plus grand.
A la vérité, des facteurs même de dix chiffres peuvent ob-
tenir leur résultat par la Table; mais il faudra faire huit fois
usage de celle-ci pour trouver les quatre produits partiels dont
l'addition donne le produit total. Gomme il peut cependant so
présenter des cas oh l'on veuille éviter la répétition d'une multi-
plication de grande étendue ou la fastidieuse addition de tant do
produits partiels à 10 ou II chiffres, nous allons donner un seul
exemple de ce genre d'opération.
Exemple.
Facteurs
820 1 2 5 1 994 X 7 1 204 47996 = (a+b) X (c+d) = ao+bd-j-ad+bc
= 71204
b = 5199 4
X f 123 198
ArcriimentB l
® \ 192 10
Nombres f37944368oi
tabulaires \ 92256025
bc = 3702180776
82012 = a
47996 =r d
130008
34016
4225520016
289272064
3936247952 = ad
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11
a = 82012
51994 = b
c= 71204
47996 =d
153216
99990
10808
3998
5868785664
2499500025
29203216
3996001
ac = 5839582448
2495504024 = bd
ad= 39362 47952
bc= 37021 80776
(a + l>)X(c+d) = 5839658832 5368304024
1
§9-
Multiplication ordinaire
820125 1994
71 20447996
4920751 1964
738 II 267946
73811267946
57408763958
32805007976
32805007976
16402503988
8201251994
57408763958
58396588325368304024
Si nous ne comptons pas
les premiers nombres mar-
qués: a, b, G, d, nous avons
194 chififres; en les comptant,
nous en trouTons 234, avec
l'opération tabulaire; tandis
que la multiplication simple
nous donne 138 chifires à
écrire.
Dans le cas où plusieurs multiplications doivent être exécutées
et si l'on n'a besoin que du produit total et non de chaque pro-
duit particulier, les différentes soustractions entre les nombres ta-
bulaires tombent, et le résultat s'obtient bien plus simplement par
l'un ou l'autre des procédés ci-dessous:
l^ On additionne les nombres tabulaires correspondant aux
totaux des facteurs et on opère de même pour leurs diffé-
rences. En retranchant le dernier total du premier, on
obtient le produit total. Si parmi ces différents facteurs
E
il s'en présente dont les multiples doivent être soustraits
et non additionnés, il suffit de faire changer les nombres
tabulaires de place.
2^ En remplaçant ceux des nombres tabulaires qui concourent
à la formation du nombre à soustraire, par leurs complé-
ments à 10, on n'aura besoin de faire qu'une seule ad-
dition sans soustraction; dans ce mode d'opérer, on em-
ploiera également en ordre inverse les nombres tabulaires
de ceux des facteurs qui doivent être soustraits.
Facteurs
97864 X 95979 total
+ 794r86 X 3752,7
— 89,753 X 635,79 diff.
+ 52,989 X Al fin total
+ I/I5399 X 82979
— 99,897 X 547,33 diff.
— 773,35 X 298,99
X e m p 1 e.
i« procédé.
Nombres tabulaires
193843 = 9393777162,.
117013 =
26174 =
100666 =
198378 =
45164 =
47436 =
Nombres tabulaires.
3423010,542...
1712,69569.
2533,410889
98384,57721 .
5099,46724.
56254,3524».
diff.
total
diff.
total
1885 =
41959 =
153332 =
5312 =
32420 =
154630 =
107234 =
9397364157,045429
1737111,232046
total des produits: 9395627045,813383
888306,
440139,420...
58776,75556.
7,054336
2627,64100.
59776,09225 .
287478,2689. .
1737111,232046
Facteurs.
97864
X 95979
I 1 794,86
^Ix 3752,7
89,753
X 635,79
52,989
X Arlfin
^j 1,15399
2« procédé.
-I
+1
1x82979
99,897
X 547,33
_ f 773,35
I 298,99
-I:
total
diff.
total
diff.
total
diff.
total
diff.
total
diff.
total
diff.
total
diff.
193 843
1885
I17013
41959
153332
26 174
100 666
5312
198 378
32420
154630
45 164
107 234
47436
total
compl. à 10
compl. à 10
compl. à 10
compl. à 10
» »
compl. à 10
des produits:
Nombres tabulaires.
9393777162,
Il 1 1694,
3423010,542...
1559860,580.. .
141223,24444.
1712,69569.
2533,410889
12,945664
98384,57721 .
17372,35900.
140223,90775 .
5099,46724.
1712521,7311..
56254,3524..
9395627045,813383
IL Elévation au carré.
§ 10.
L'élévation d'un nombre au carré ou à sa 2« puissance à l'aide
de la Table ne nécessite que la multiplication par 2 du nombre donné,
parce que les deux facteurs sont égaux et, par suite, une seule re-
cherche est nécessaire. Ex.
N = 49998, 2 N = Argum. 99996, nomb. tabul. = N* = 2499800004,
X = 98254, 2N = Argum. I96508, nomb. tabul.=:N« = 9653848516.
En outre on obtient le carré de tous les nombres de 6
chiffres dont le dernier est un 5 , en faisant suivre le nombre
trouvé dans la table de 25 au Heu de 00. Ex.
N=948685, 2N= Arg. 1 897370 nomb. tab.=N*=900003229225.
Si l'argument dépasse les limites de la table et si, par une
division, on peut lui rendre possible l'accès de celle-ci, il faut
multiplier le résultat obtenu par le carré du diviseur choisi.
Si le nombre donné n'atteint pas 200,000, la division par 2 et
la formation de l'argument se compensant, on peut se servir du
nombre lui-même comme argument, à condition de multiplier
par 4 le nombre tabulaire. Ex.
N = 1 17332. n. tab. = 344^699556 X 4 = N«= 13766798224.
N = 194937. n. tab. = 95001084921/4X4= N>= 38000433969.
N = 272472. Arg. = 544944 : 3 = 181648 nombre tabulaire =
8248998976 X 9 = N« = 74240990784.
N=: 2984985. Arg. = 5969970 : 3 = 1989990. nomb. tabul.
= 990015050025 X 9 = N* = 8910135450225.
§ II.
Si maintenant le nombre donné est si grand que, même
en diminuant l'argument, il est impossible de le ramener à la
Table, il faudra recourir à une division du nombre et à l'appli-
cation de la règle : (a -|- b)* = a* + 2ab + b*, ou, si pour cer-
tains nombres cela est plus pratique : (a — b)* = a (a — 2b) -|- b*.
Dans le cas oti il suffit de retrancher un seul chiffre A
la fin du nombre, on ajoutera à a* suivi de 00, le produit du
chiffire retranché par V argument (2ab) et par b^; c'est à l'aide
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12
ée ce facile calcul auxiliaire que Ton obtient tous les carrés de
100,000 à 1,000,000. Lorsque plusieurs chiffres devront être re-
tranchés, on fera suivre a* d'autant de fois deux zéros qu'on aura
retranché de chiffres ; on procédera à l'opération ab à l'aide de la
Table et l'on fera suivre le résultat d'autant de zéros qu'il y-aura eu
de chiffres retranchés ; enfin b' sera également obtenu par la Table.
Une troisième méthode , peu différente de (a -\~ b)' consiste
en l'emploi des différences ; on ne se sert pas du quart négligé de
la dernière unité, avec les nombres tabulaires correspondant à
des arguments impairs; cette méthode offre un léger avantage
sur a* + 2ab -|- b*.
Exemples.
I. N= 387784
a = 387780, Arg. 775560 nombr. tab. 1 50373328400
b = 4>. 4 X 775560 = 3102240
b« = 4X4 = 16
(a + b)» = N« = 1 50376430656
ou:
a = 400000
a— b = 387784
b = 12216 (6)
a (a— 2b) = 375568 X 40
2b = Arg. 24432 nomb. tab.
(a— b)« = N«
1502272
149230656
^ 50376430656
IL N = 9822189
I" mode d'exécution (a* + b* 4- 2ab).
a = 9822100, b = 89
2a = Argument 19644200 nomb. tab. 9647364841
+ 2b= „ 178 „ „ 7921
+ 2ab = 89 X 19644200 = 17483338..
y» = 9647539675 1721
a == 9822150, b = 39
2a = Argument 19644300 nomb. tabul. 96474630622500
4- 2b = „ 78 » » 1521
4. 2ab = 39 X 1964*300 766127700
y» = 96475396751721
2« mode d'exécution (emploi des diflFérencee).
2 X 9822 1I89 = 196443I78
Argument 196443 . . nombre tab. 9647463062(792 1 = 89*
+ 78 X 98221 . . = 7661238..
y^ = 96475396751 721
3« mode d'exécution (a— b)« = a (a— 2b) -|- b*.
a =99
(a — b) = 9822189
b = 77811
100 (a— 2b) = 974437800 (multiplié par lOO;
— (a— 2b) = —9744378 sr— 2b retranché
a (a — 2b) = 964693422 de nouveau.)
2b = Arg. 155622. n. tab. = 6054551721
(a— b)« = N« = 96475396751721
III. N = 7999985463
(5) CO
a = 799990, 2a = Arg. 1 599980 n. tab. 6399840001 .
b= 85463 2b = ^ 170926
. f 165462 n. tab. 684441 8361
^i 5464 » 7463824, ,^
2ab== 2X68369545370
7303924369
a =8
«r— b = 7999985463
b = 14537 W
a (a— 2b) = 7999970926 X 80 = 63999767408
2b = Arg. 29074 n. tab. = b« = 21 1324369
(a— b)« = N> = 639997674082 II 324369
En transformant les exposants, la Table peut servir aussi à
élever des nombres à de plus hautes puissances.
Il s'agit d'obtenir exactement 2^^
264 _ 488 _ igie _ 2568 = 65536* = 42949 67296»
Arg. 512 Arg. 131072 a b
(8)
2a = 858980 nombre tabul. 1 84461 6601.
b== 67296 Arg. 134592
f I53i94n.tab. 5867100409
^'M 18602
86508601 2ab =
4528751616
5780591808
2^* == 18446744073709551616
13673909074.
(a + b)« = y» = 639997674082 1 1 324369
§ 12.
Un artifice de calcul permet de limiter à peu de chiffres,
par la combinaison de 2 arguments qui se pénètrent mutuellement,
l'opération qui donne 2ab. On pourrait à la rigueur l'étendre à
des nombres de 10 chiffres, mais déjà, appliqué à ceux de 8 chiffres,
il perd tout avantage sur le procédé du binôme.
Les deux arguments ne reçoivent ({ja!auiant de chiffres de
l'argument principal que ne le permet la limite de la Table: le
grand argument les prend en descendant à partir du rang le phis
élevé et les rangs restants sont remplacés par des zéros; le petit
argument prend, au contraire, le nombre de chiffres voulu en re-
montant depuis le rang le plus bas. Les 3 derniers rangs du
grand argument (y compris les zéros ajoutés) sont considérés comme
appartenant à -}- n et tout le reste, à N; il faut alors choisir le
petit argument de telle façon que la différence en N soit toujours
un nombre pair, ce dont dépend la grandeur de celui-ci avec 5 ou
6 chiffres. — Plus tard on additionnera aux deux nombres tabu-
laires combinés, la moitié des différences N, multipliées par + n,
nombre qu'on devra supposer terminé par 5 zéros.
La réunion en un seul des deux nombres tabulaires des deux
arguments donnés diffère légèrement selon le nombre de chiffres
dont l'argument principal dépasse les limites de la Table. —
On cherche d'abord le petit argument.
Si l'argument principal dépasse les limites de la Table de :
1 rang, on copie seulement G & B
2 rangs, on copie G & B avec i rang de A
3» »»n»»2„„
4i •»»»»3»»
5 , , „ le nombre tabulaire entier.
Oes derniers demeurent négligés dans le nombre tabulaire
du grand argument, après avoir toutefois transporté en A autant
de fois 2 rangs de B et de G qu'il y avait de chiffres du prin-
cipal argument qui dépassaient la limite de la Table. H faut en-
core remarquer lorsque B et G sont transcrits, c'est à dire lors-
que le nombre dépasse la Table d'un chiffre, qu'il faut augmenter
d'une unité le nombre occupant le rang supérieur le plus proche,
chaque fois qu'on rencontrera une * en B et de même pour des
nombres plus grands, chaque fois que le chiffre occupant le plus
haut rang négligé en A est plus grand que le correspondant (pour
le petit argument), parce que le premier (pour le grand argument)
peut être égal mais jamais supérieur an dernier (pour le petit
argument) ; alors on l'augmente en faisant précéder d'un 1 le rang
immédiatement supérieur.
La demi-différence N fois -|- n ajoutée aux deux nombres
tabulaires trouvés donne le carré cherché comme le prouvents les^
exemples suivants:
}en négligeant les
rangs supérieurs.
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2N = arg. principal
dont le
grand argument est
petit „ „
77S
différences
N = 959873
775
17s
(6)
60 et
- n
568
560
568
13
Nombres do 6 chiffres.
N = 387784
1/2 diff. N X diff. + n = 30 X 8 =
nombre tabulaire du petit argument =
M If >» grand f» =
A
B
C
2
4..
...I
030
656
150373
• • •
•
8
N» = 150376 430 656
2N = argument principal 1919746
(8) A
demi-diff. N X diff. + n = 90 X 6 = j 5
I petit argument 1 19746 =1 ....
\ grand „ I9I9740 =1921350
nombres tabul. du
B
4..
• • •
129
(• rangs négligés des
nombres tabulaires).
y» = 921356 176 129
n. Nombres de 7 chiffres.
N = 9822189
argument principal
CM
Diff.i|2x78
petit argument
grand „
N-
19644
= 44
= 19644
- n
378
378 =
300 =
764
..2
9647463*
B
I4--
351
721
Le procédé abrégé oi-oontre est
destiné à éviter la double copie des
chiffres; on remplit alors la lacune
par voie d'addition.
N« = 96475396 751
7644
..2 3.
...463. ..
721
Tant que les facteurs ne dépassent pas respectivement 2 et 3
chiffires, on peut tirer directement de la table les multiples de X °>
et N n'est point divisé.
On forme un argument des 2
différences N et -}- n et on relève 1
le nombre tabulaire en AB dont —
la soustraction se résume en un — |
facile calcul de tête*.
9647-
ill
N-l
-n
A
B
196
078 =
9611
645
196
000 =
9604
078 =
I
(»)
i960
2
X78 =
(»)
= 7 6440
21
argument principal
(8)
N = 2714148
= 5428296 .
B
Diff.4Xn = ^X96 =
2 2
petit argument
grand „
= 28296
= 5428200
259
2
.10
I..
> • •
• ...33.
• •
-n
A
B
096 =
.. I
594
000 —
• 9
. . •
096 —
2
Ex.:
7366... .65 904
N* = 7366599 365 904
a= 12536337!
54
54
o
HX96 =
2 592
L'avantage présenté par l'ariifioe est que,
en ayant deux fois recours à la Table, on peut
former directement les carrés de tous les nom-
bres jusqu'à 10,000,000, si l'on additionne en
même temps la différence. Ce même artifice
peut être appliqué à des multiplications dont les
facteurs donnent des arguments dépassant de
2 rangs les limites de la Table.
Facteurs
1964+3781 Nombres (96475396751721
"5^"^^M Arguments r^^V'^ — -- y-^/^oy-,3x,.x
7108041J ® l 5428296 J tabulaires l 7366599365904
ab = 89108797385817
m. Nombres de huit chîflfres.
N = 96082979
N + n
192165 958
N =
84583117
N + n
2 N = Arg. principal
(e)
Diff. 1920X958 _
2
petit argument =
grand „ =
165 958
192165 000
A
91968
..85
.8468..
B
2N = Arg. principal = 169166
(6)
1690X234 ^
2
petit argument = 166
grand ,, = 169166
Diff.
234
B
19773
234
000
.108
.... 2838 . .
4
9231 514 441
N« = 9231938853 514 441
7154 35 689
N» = 71 54303681 435 689
* On peut éviter de rechercher chaque fds la différence dea nembres tabulaires en A correspondant aux arguments N + n et N + 000, en la
plaçant en marge de chaque cOté de la subdivision I, pour les nombres pairs. Il ne reste alors plus que la différence en B des nombres tabu-
laires des arguments donnés par N 4- n et + n.
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14
rv. Nombres de neuf chififres.
N = 266514787
2 N = 533029574 Arg. n. tab. A
Diff f+n = 9574 =12239 ==374482801
^^•|i/,N = 2665= 6909= 11933570)" ^^7
petit Argument 29 574= 2l8
grand „ 533020 ooo = . . . 27580.
B
o. .
6.,
710 55 369
y» = 71030131689 655 369
V. Nombres de dix chiffres
N = 4294967296
2 N = 8589934592 nombre tab
Diff r/«^42949\Arff {77541 == 1503 15 1670
1+ n 34592) ^'^' 1 8357 = 17459862
1485691808
p. Arg. 134592 n. tab. 45287 .
gr. „ 8589900000 „ 59 550
Opération ordinaire,
Yoire § II dernier
exemple.
18446 51616
N» = 1844674407 37095 5 16 16
§ 13.
S'il n'y a pas pins de 9 ou 10 chiffres à chercher pour le
carré d'un nombre de plus de 5 chiffres (a -^ b), b^ disparait.
Ceux des chiffres de l'argument 2 (a -}- b), qui dépassent la limite
en sont séparés comme fraction décimale particulière; il faut en-
saite additionner au nombre tabulaire de l'argument le produit
de l'argument écourté par la moitié d];i nombre retranché ou de
ce nombre entier par la moitié de l'argument. Exemples:
I. N = 4,168496
2N = Arg. 8336992 nomb. tab. de 83369 + -^ X 83369 ou bien
83370
0,08
X 83370
n. tab. de 83369=17 3759754o|3
+0,46X83369=
38349.7
ou
2
83370 17 37639225
,04X83370 3334
^^=1 7,37635890
II. N = 0,9379687194
I^''=i7>37'535890
2N = 18759374388, n. tab. de 187593 + °ul^ X 187593
A-rg. 187593
37194
22478
15039
nombre tabul.
A B
= 126 3231
56 550J .
8797 783 412
69 773
N2 = 0,8797 853 185
On peut procéder de même pour la multiplication avec les
arguments de la somme et de la différence, en ajoutant au nombre
tabulaire du petit argument le plus proche le produit formé comme
ci-dessus pour chacun des 2 nombres tabulaires, ou bien en le
retranchant du plus proche grand argument.
Ex. I. :
Facteurs
I I5r4335 5
10,310893
s = 18 5424I8 nomb. tab. = 85955 14944I
+ 0,4 X 185424 = 741 70 J
d = 12 3246I2 nomb. tab. = 37973941 29 1
+ 0,1 X 123246 = 12325 )
8595589114
3797406454
Produit = 4,798 182660
Pour abréger encore la multiplication, en ne recherchant, par
exemple, que 6 ou 7 rangs du produit, on négligerait le nombre
tabulaire et on ne prendrait de l'argument que le nombre N
pour le multiplier par la fraction retranchée.
on trouve \ 8 = 185424I8 nomb. tab.
des facteurs l en + 0,4 X 185
ci-dessus i
1 23246(2 nomb. tab.
+ 0,1 X 123
8595 515
74 = 8 595 589
3797 394
12= 3797405
Produit =4,798 183
U. La règle demeure la même pour des facteurs encore plus
grands, à condition, toutefois, de ne pas exiger plus de 9 ou 10
rangs de chiffres au produit. Ex. :
Facteurs
8,201251994
7,120447996
s 5= 15 3216
d= 10808
99990 n. tab. de 1 53217 = 5868862272] g 68863364.
— 0,0001 X 7I6608 =-- 8j ^ ^
03998 n. tab. de 10808 = 292032 i6l
+ 0,04 X 54I04 =+ 216J
29203432
Produit = 58,39658832
On peut employer de même le procédé abrégé de multipli-
cation pour des grands facteurs dont le produit n'est demandé
qu'avec un nombre restreint de chiffres, plus ou moins de 10. Au
delà des facteurs de 11 et 12 chiffres et avec un produit comp-
tant autant de chiffres significatifs l'usage de la Table de Kapier
se recommande comme de beaucoup plus pratique. Pour exécuter,
par exemple, une multiplication de facteurs de 16 chiffres, le
travail fait à l'aide de la Table serait de beaucoup plus long
qu'avec les Baguettes de Napier et exigerait environ le double de
chiffres à manier.
IIL Extraction de la racine carrée.
§ 14-
De même que l'on cherche dans une table de logarithmes le
nombre correspondant au log. donné, de même ici on cherchera
le nombre tabulaire plus petit que le nombre donné et s'en rap-
prochant le pltts; mais comme cette recherche, indiquée § 3, serait
trop fastidieuse surtout dans les premières pages de la Table, on
feuiUetora d'abord l'Index afin de trouver la page et la division
oh l'on recontrera le nombre cherché ou, à son défaut, celui qui
s'en rapprochera le plus en dessous. A cette fin, les valeurs d&
-}- n en A sont dressées de 50 en 50 sur deux pages doubles
séparées, / et II (recto et verso) pour a et & et dans *4e même
ordre que dans la Table. Celles qui n'atteignent pas 4 chiffres
sont complétées jusqu'à ce nombre par l'adjonction d'une fraction
décimale prise dans les chiffres de tête de B, ce qui explique les
lettres A et B placées en tête des colonnes. En outre, le dernier
rang de chaque nombre suivi de 5, 6, 7, 8, 9 est augmenté d'une
unité et cette augmentation est indiquée par un point. A droite
près de la marge, dans la colonne désignée par un triangle, se
trouvent des nombres qui indiquent combien il faut tourner de
pages quand A est augmenté d'une unité. Les parenthèses en-
tourant quelques nombres signifient ^/lo d'unité en A, ce qui per-
met de calculer facilement de tête sur quelle page on trouvera ce
que l'on cherche. — La dernière ligne du bas marquée de la
lettre P, donne en outre le numéro de pagination marqué au bas
des pages. Les 10 premières rangées de chiffres dans les divi-
sions I et n de l'Index a sont en réalité superflues, puisque l'on
doit compléter par des couples de zéros jusqu'à concurrence de
neuf et dix rangs, les nombres de moins de 9 chiffres, si l'on
veut obtenir immédiatement une racine à cinq chiffres.
§ 15.
Si le nombre cherché se trouver absolument exact, la moitié
du nombre d'entrée (N + n) est la racine cherchée et rationelle.
Si la division par 2 donne la décimale 0,5 ce qui arrive toujours
lorsque -\- n est impair, il faudra augmenter le carré reconstitué,
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15
de 0,25; cette fraction est toujours négligée dans la Table, parce
qu'elle n'a aucune valeur pour la reconstitution des arguments.
Ex: N = 8995953409 = arg. 189694 . 2 = 94847 V^^^
N = 8949822212,25 = ,1 189207 , 2 = 94603,5 v^N
§ 16.
Si le nombre cherché ne se trouve pas complètement dans
la Table, mais seulement coïncidant par ses chiffres initiaux,
^li (^ + ^) ^^ sera que la première partie de la racine. Pour
trouver les 5 ou 6 chiffres suivants, on soustraira du nombre donné
le notnhre en B qui s'en rapprochera le plus en dessotM, et on
divisera le reste par le double du fragment de racine trouvé ; cette
seconde partie de l'opération peut, lorsqu'il 7 a avantage, se faire
inversement : diviser le demi-reste par la racine imcomplète. Si
l'on a divisé le nombre donné en tranches de 2 chiffres (de droite
à gauche dans les nombres entiers et à partir de la virgule dans
les nombres avec décimales), on saura combien la racine doit avoir
de rangs de chiffres entiers et où il faut placer la virgule.
Exemples.
I. N = 209955864
2 09 95 58 64
2 09 94 56 10,25 = ^ë' 28979 : 2 = 14489,5
1 02 53 75 : 28979 = + 35383
156005 =
35383 yT N 14489,85383
I II 10
24 16
98 ou le demi-reste
II 5126,87:14489,5
55 55 ~ °'3S3^3 <'o™™8 d-dessuB
1208
49
6
II. N = 21015,2703
2 10 15 27 03 81^.
2 10 14 85 12 25 = 289,93 • 2 = 144,965
419075 -.28993 = + 144543
12 91 45 = 144543 V^N = 144,96644543
I 3173
1576
I 26
10 on le demi-reste
I 209538 : 144965
64573 _,^^,^,
6587 — ^44543
788
63
5
m. N = 5978,1
59 78, 10 00 00
5978 073124
26876
I 14 12
587
I 24
argument
= 154636:2 = 77318
: 154636 = + 17380
4 v^N = 77,31817380
9
3
IV. N = 0,3
30 00 00 00 00 argument
29 99 97 19 84 = 109544 : 2 = 54772
2 80 16 : 109544 = + 25575
61 07
630
82
5
V^N = 0,5477225575
On obtient immédiatement 6 rangs de chiffres à la racine
des nombres dont le chiffre le plus haut placé est inférieur à 4 et
dont le nombre de chiffres est impair (on ne compte que jusqu'à
la virgule pour les nombres accompagnés de fractions), si on divise
d'abord ces nombres par 4; il en est de même pour de pures
fractions décimales, lorsque le premier chiffre à droite de la vir-
gule se trouve être à la fois de rang pair et inférieur à 4. L'ar-
gument se trouve alors être le premier terme de la racine et 6
autres chiffres de la racine s'obtiendront en divisant le double
du reste par l'argument ou le reste simple par le demi-argument.
Cette marche peut aussi donner de bons résultats en tant que
preuve d'autres calculs.
Exemple.
N* = 3978653
— = 994663,2500 argument
^ 994657 1556 = 1994,65
reste 60944 X 2
= 12 1888
2209
214
14
199465 =s -f- 61 1074
1994,65611074 = N
autre manière de procéder:
3978653..
397862862 = arg. 3989,3 : 2 = I994,6S
reste
2438
44
4
o : 39893
4
5
5
+
06111
N = 1994,656111
Conmie les nombres de la Table atteignent 10,000 millions,
les nombres dont on cherche la racine peuvent avoir dix chiffires.
Si cependant il s'agit d'une racine rationelle, on peut l'obtenir
pour des nombres encore plus grands; mais, comme le nombre des
racines irrationelles est incommensurable si on le compare à celui
des racines rationelles, il faut s'attendre à recontrer le plus fré-
quemment les premières.
Exemple.
N= 18488345698004,293225
18 48 83 45 69 80 04, 29 32 25
1848 82 8004
reste = 65 65 8
72re8te=32 82 9
2730
150
2 I
00
= 85996-. 2 =42998
+ 0763s
42998
4= 07635
5
o
V^N = 4299807,635
S'il faut trouver plus de 10 chiffres à la racine, on doit
continuer à extraire la racine par le procédé ordinaire jusqu'à
tant qu'on ait obtenu la moitié; le reste se trouvera ensuite par
la division abrégée.
En se servant de la Table de Napier, on peut en complé-
tant au fur et à mesure le diviseur croissant, s'épargner aussi
facilement que par la division usuelle, la pose des multiples du
diviseur.
Pour faire la preuve, c'est-à-dire multiplier la racine par
elle-même afin d'obtenir le nombre, la multiplication abrégée par
la Table de Napier présente le plus sûr moyen de vérification;
par précaution on fera entrer un chiffre de plus en compte.
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16
Exemples.
I. N = lo
lO
9 99 98 25 06 25 = arg.
reste=l 7493 75
48 44 71 00 :
4 17 52 71 00 :
63245:2=3,16225
632452* + 2766016838
38 05 38 24
10 64 92
43247
5299
2 40
50
6324547* 3,16227766016838 = v^N
63245546*
63245552
^=6016838
IL N = 3,14159265358979
3,14159265358979
3 14 14 01 ^6 — arg. 35448 : 2= I 7724
reste = 1 90 89 35 : 354485* + 538509055^6
13 65 10 89 -.3544903* I/7724538S0905516 = v^N
3 01 63 80 79 : 35449068*
18045535 -.35449076
320997=50905516
1955
I 82
5
2
oa
3 14 15 92 65 35 89 79
3 1415790025= arg. 35449: 2=1,77245
reste = 1 3 65 lO 89 : 354490*3*
3 01 63 80 79 : 35449068*^
1804 55 35 -.35449076 ■
+ 03850905516
iJ724S38509055i6=v^N
32 09 97 = 509055x6
19553 ♦)
1828 ^
56
2 I
dernier rang décimal du di-
viseur et en même temps
quotient momentané.
§ 17-
n s'agît maintenant de calculer les carrés de plusieurs
nombres et d'extraire la racine carrée de leur total. Dans ce cas,
il est inutile de doubler les nombres d'entrée afin d'obtenir les
carrés, les quarts de carrés de ces nombres suffisant à donner
par leur total l'argument dont le nombre tabulaire le plus proche
en-dessous forme le commencement de la racine; on obtiendra le
restant de cette racine en divisant l'argument par le double da
reste ou le demi-argument par le reste lui-même.
Ex. v^a» + b^ = c
I. a = ^6Z^^ n. tab. = 1478287152,25
b = 59783 • = 893501772,25
total = 2371788924,5
n. tab. = 2371787401
reste = 1523
62
II
4
autre procédé
2a = 153794 "• **^- = 5913Ï48609
2b =119566 „ = 3574007089
total
D. tab
a^-g- = 97402,
48701 = + 03128
= 97402,03128
9487155698
9487149604 = 194804 : 2 = 97402,
194804 = 4-
reste = 6094
249
55
16
03128
c = 97402,03128
IL a = 142968 n. tab. = 5109962256
b = 1 39857 „ = 48 89995U2 ;25
total
9999957368,26
n. tab. = 9999900000,25 «g. = I99999r
reste -= 57368 X 2
ÔTT99999 = +575683
114736
14736
736
136
16
c = 199999.573683
On peut, à la vérité, employer notre artifice en sens contraire, comme on a pu le voir § 12, mais nous ne le recomman-
derons pas, car, à cause des calculs auxiliaires que son emploi nécessite, il n'offre aucun avantage sur les solutions précédentes.
La manière de procéder serait en tous cas, la suivante:
A B
|3i4i59265|358|979
3141579- •
.02 137 982
1362 9
1 N+n
= arg. 35449 ooo
= » 49 077
314159265 3
3141 57900 2 Vi diff. N
diff. A — 1365, I ; 1770= 077
(»)
= difF. 1770 X n
126 I
reste -= 22
3141 59265 037 982
reste = 320 997
I 955
182
S
2
= arg. 35449 077 : 2 =- I 77245 38rt
" : 35449077 + 00905516
1 = 00905516 v^N = 1,772453850905516
6
I
dividende = 1365, l
— reste = 2, 2
177X77 = 1362, 9
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17
IV. Division.
§ i8.
Nous avons tu plus haut (§ 4) que notre Table n'offire aucun
avantage direct pour la division ; néanmoins, par une voie détour-
née, elle pourra nous servir utilement : en transformant ab/a en son
équivalent ab X 1/^9 ^ condition toutefois de ne pas être obligé
de calculer i/a.
La Table de ûakes, déjà citée, contient avec 7 chiffres les
réciproques de tous les nombres jusqu'à i0O,O0O; on peut donc,
à Taide des tables de proportion jointes à cet ouvrage, obtenir
les réciproques jusqu'à 10,000,000, en employant les différences
qui s'y trouvent également indiquées.
Il faut prendre pour la valeur réciproque d'un diviseur un
nombre de chiffres égal à celui des chiffres du quotient qui doit
paraître en même temps. On n'a par conséquent besoin que de
5 chiffres réciproques pour chaque tranche de 5 chiffres du quo-
tient; mais on en prend i ou 2 de plus, afin d'obtenir une
exactitude plus grande pour le cinquième chiffre du quotient.
§ 19.
La transformation de la division en multiplication différera
un peu dans la manière de procéder, selon le nombre de chiffires
demandés au quotient. L'opération n'offrira dès lors d'avantage
réel que quand on n'a besoin de trouver au quotient que 7 chiffres
au plus. Four des opérations où le quotient devra donner plus
de chiffres , la Table de Napier avec sa division simplifiée offiira
une facilité plus grande. Le mieux sera de ne demander au mode
d'exécution à l'aide de le Table que cinq à sept chiffres du quo-
tient, afin de ne point sortir du cadre de la Table et d'éviter
ainsi les calculs secondaires. On procédera comme suit:
a. — Séparation du dividende en tranches de chiffres, pour chaque
tranche de 5 chiffres au quotient;
6. — Multiplication simplifié de la première tranche par le réci-
proque du diviseur. On peut, en transcrivant les nombres
tabulaires de la somme et de la différence, négliger un chiffre
ou deux de B ainsi que le nombre C. Les cinq plus hauts
chiffres du produit forment le quotient partiel cherché.
C. — Multiplication du diviseur par le quotient partiel et soustrac-
tion du produit du dividende (i« et 2« tranche). Comme les
4 ou 5 chiffres les plus élevés du produit doivent être les
mêmes que les chiffres correspondants du dividende, on peut
se dispenser de transcrire le nombre tabul. A ainsi que le
premier chiffre ou les deux premiers de B. En outre, on
peut remplacer la double soustraction par une seule addition
de 3 nombres, en posant au lieu du nombre tabulaire de S,
son complément à 10; celui-ci avec le nombre tabulaire de d
et le dividende donnent le reste cherché plus simplement
/g» d«\
que le dividende — (— — — ).
V4 4/
d, — Multiplication du reste obtenu par le réciproque du diviseur
et continuation de ce moyen d'opérer comme en a, hj c, jus-
qu'à épuisement des chifTres du dividende ou obtention d'un
nombre suffisant de chiffres au quotient.
Exemples.
1241982703 : 72127
Réciproque de 72127 = 1 386443
I. Pour un quotient de 7 chiÎBûpes.
réciproque = 1386443
dividende = 1241983
s = 26284I26 nombre tabulaire = 17271 2164
+ 0,13 X 26284 = 3417
17271558.
d = 1444I60 nombre tabulaire = 52 172
quotient = 17219,39 .
n. Pour un quotient de 15 chiflfres.
dividende 124198
réciproque 13864 A B
s = 138062 = 4765 27 .
d= 110334= 304339-
17219 = i*^ quotient
A B 72127 = diviseur
.... 323 071 = 89346 = s (compl. à 10 du n. tab.)
.... 722 116 = 54908 = d
.... 982 703 = dividende précédent avec les 4 derniers
27 890 = reste [chiffires.
138 644 = réciproque
A B
B = 166 534 n. tab. 6933 39 .
d= 110754
ABC
3066 61
3866 7 = ;g* quotient
7212 7 = diviseur
. 172 39 1 = 11079 4=8 (compl. à 10 du n. tab.)
. 892 90I0 = 3346 o = d
^^.^^. . rangs de chiffres du divid. épuisés
65 29 I = reste
roque =138 644 A B
s = 203 93 5 n. tab. 103 974
d= 73 35 3 n 13452
90 522 = 5^ quotient.
Quotient = 17219 38667 90522
§ 20.
n est tout aussi facile de faire l'opération ^veo des diviseurs
ayant au plus 7 chiffres significatifs, quand le quotient est de-
nuindé avec un maximum de 7 chiffres également; en revanche,
pour un quotient à beaucoup de chiffres, la recherche des restes
de C exigerait, à cause de la limite imposée par la Table, des
calculs accessoires; calculs que l'on peut, il est vrai, abréger con-
sidérablement, mais qui, même alors, demandent plus de travail
que la division ordinaire, surtout si on la simplifie par la Table
de Napier.
Exemple.
15474250,491067 : 8388608
Réciproque de = 8388608 = I192093
dividende = 1547425
réciproque = 1192093 A B
s = 2739518 =* I 876239 7..
355332 = 31565 2..
d =
quotient = 1,844674
(6) A B
• calcul par l'artifice diff. 130 X 18 = 23 4. .
n. tab. du petit arg. 63.,
, „ grand , 187621 .
1876239 7
ou
8 «= 27395
d— 3553
+ o,
18 n. tab.
09X27395
3|2 n. tab.'
01 X 3553
^ ^ ° ABC
= 187 621 5o6\_,^^^^,i,
= 2466) = ^ *7 623 97
quotient = 1,84 467 5 . .
Sans recommander ce procédé pour un quotient exigeant un
plus grand nombre de chiffres, nous en donnons un exemple:
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18
dividende = 1547425
réciproque = II92093 A B
8 = 27395 18 n. tab. = 187 623
d = 355332 , = 3156
184 46 . = 1*^ quotient
8388608 = diviseur
ABC (»)
..9239729 = 8407054= 8, (petit arg.+ -i^ X 54)
760 271= (complément à 10)
(6)
• . 2 976 561= 83701 62 = d, (petit arg. -| X 62)
2 504 9 10 = dividende
6 241 7
I 192 o
8 = 7 433 8
d = 5 049 6
42:
93 =
35 ïi-
49
: reste précédent avec 5 chiffres suivants du dl*
: réciproque [vidende
tab.= 1381 546,(37X0,35 = 13)
• = 637474, (25 X 0,49= 12)
744 07 = ^ quotient.
83886 08 as diviseur
. 4 567 I 00
. . 4 267
f8)
ABC
> . r 722 S 56 = 84630 15 = 8, (petit arg. + 420 X 1 5)
.4 277 444 = (complément à 10)
= 83142 01 = d, (petit arg. + 410 X l)
= reste précédent avec les 2 derniers chiffres
= reste [du dividende
= réciproque. A B
nombre tab. = 463 032, (21,5 X 0,37 = 8)
, „ = 92 107
370 92 = 3' quotient,
= 1,8446 74407 37092
Remarqué. — Notre Table ne rend juste-
ment de bons services en collaboration avec
les Béciproques, que 11 où l'on ne demande
que 7 chiffres au plus pour le quotient, c'est-
à-dire dans le cas où le temps employé an
classement des Baguettes de Napier n'est plus
compensé par l'économie du temps donné an
calcul. Dé cette façon on peut aussi rempla-
cer par une multiplication la division qui,
dans l'extraction de la racine carrée, donne
la seconde moitié de la racine.
3 III 544
I 192 093
s = 4 303 6|37
d=i9i9 4|5i
quotient
Errata.
Fautes typographiques.
page
snbdi-
vision.
Argument
Erreurs ||
ligne de
N
Colonne
B
an lien
de
mettes
12
I
80
059
350
360
16
n
27
079
218
318
17
I
186
072
797
697
55
n
143
267
38S
358
58
n
69
286
«
107
I
168
520
447
747
136
n
SI
670
477
447
139
n
173
687
763
793
144
n
89
710
941
971
H7
n
III
721
36s
395
154
I
88
764
791
761
158
I
86
784
89s
865
177
n
169
874
*
CoL A. Il
20
n
77
090
IS85 148S II
Chiffres mal
venus.
page
rabdi-
TiaioD.
Argument
chiffres
corrigés.
ligne de
Colonne
B
en B
68
n
43
331
393
190
I
60
64
943
943
512
398
191
n
157
947
813
193
I
160
164
953
953
467
373
160
963
271
195
I
160
964
352
164
964
*
en A
8784
93
I
187
450
En outre, le nombre N de la 3» et 4» ligne à partir d'en haut, qui se trouve, par erreur, désigné par le
4
6-
signe ^ aux pages 14, 18, 24, 28 et 32 dans la sutxlivision I, doit au contraire se lire ^.
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Supplément gratuit à la Table des Quarts de carrés.
Table de Napier
donnant
les neuf multiples de tous les nomlires par la juxta-positlon de
et
permettant d'effectuer plus rapidement et plus commodément
la multiplication et la division
que par les procédés ordinaires
des 11011113X68 à beaucoup de cTiiffres
publiée par
Joseph Blater
avec la collaboration de
A. Steinhauser, conseiller de gouvernement à Vienne.
Le carton ci-joint contient six jeux de dix baguettes
à calcul et deux colonnes-index. Les petites lignes pa-
rallèles, du haut et du bas indiquent la place où Ton
doit poser la règle pour découper les cojonnes verticales
ou baguettes.
Des Tables de Napîer complètement finies, avec ca-
dre à calcul et accompagnées chacune de 4 jeux de 10
baguettes, ont paru récemment et se trouvent chez tous
les libraires.
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18
dividende = 1547425
réciproque = I192093
A B
g = 27395
d = 3553
A
18 n.tab. = 187023
32 , = 3156
18446. ^l'^quoU
83886 08 = diviseui
B C
. . 9 239 729 = 84070 54 = »» (P®*^*
760 271 = (complément à 10)
. . 2 976 5 61 = 83701 62 = d, (petit
2 504 9 10 = dividende
6241 7
I 192
42 = reste précédent avec
93 = réciproque
8 = 7 433 8
d = 5 049 6
A B
35n.tab. = 1381 546,(37
49 » = 637474,(25
744 07=£
C 83886 08 = d
. . r 722 5 56 = 84630 15 = 8>
.4 277 444 = (complément à
.4567100 = 83142 01 = d,
4 267 = reste précédent
3 III 544 = reste
I 192 093 = réciproque. A
s = 4 303 6
d = I 919 4
37 nombre tab. = 4Ô3
51 n » = 9'
37<
quotient = 1,8446 744^7 37
JEL
Fautes typographiques.
subdi-
Argument \
1
page
yiaion.
lienr de
N
Colonne
B 1
an i
di
12
I
80
059 1
35
16
H
27
079 1
21
17
I
186
072
79
SS
U
143
267
38
S»
n
69
286
107
I
168
520
AA
Ï36
n
SI
670
47
139
n
173
687
7e
144
n
89
710
9A
147
n
III
721
3f
154
I
88
764
7Ç
158
I
86
784
8ç
177
n
169
874
i 20
II
77
090
En outre, le nombre N
npe 6 aux pages 14, l8.
►
Introduction.
La Table à colonnes mobiles que nous présentons aujo
au public, est due à l'esprit inventif du célèbre mathén:
écossais, John Napier, baron de Merchiston, mort en 1617
imagina le système logarithmique.
Le mathématicien français Gergonné, de Nîmes, dai
Mémoire sur les moyens facilitant le calcul (volume VTI <
Annales de Mathématiques ^ Nîmes 181 7) parle des Bagtu
Napier et constate, qu'après la découverte des logarithmes
tombèrent dans un oubli absolument inmiérité.
Je dois la connaissance de ces Baguettes à M. A. Steinl
conseiller impérial à Vienne, et grâce à ses conseils, j'ai p
donner une disposition plus pratique, en évitant la forme pri
en losange, tout en conservant les avantages que cette forme prés
Cette Table mobile ne remplit pas le format d'une page on
et peut cependant rendre plus de services que tout ce qu'on
paraître jusqu'à présent en ce genre, depuis Cadet (Paris
jusqu'à Brettschneider (Gotha 1827).
Notre Table de Napier, n' a été pendant une année •
précurseur d'une grande Table des Quarts des carrés de toi
nombres entiers jusqu'à 200,000, à l'exécution de laquelle le :
dont j'ai parlé plus haut a bien voulu collaborer par ses cons
par ses soins.
Elle méritait donc d'être tirée de l'oubli, tant à cause de sa |
simplicité qu'à cause de ses qualités pratiques, appréciables pou
les calculateurs qui ont affaire à des nombres de quelque impoi
Nous résolûmes de la mettre à la portée de chacun, en y jo
une notice explicative relative à son emploi, persuadés que nous
mes, que tous ceux auxquels elle s'adresse, trouveront en e
parfait aide-calcul, aussi bien au point de vue de la correctitu(
opérations que sous celui de la rapidité et de la commodité
Worrstadt, janvier 1888.
Joseph Blat(
% SUDOlVlSlOn 1, UUIL <*U cuiiucuic »c 111 K* ^.
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lis présentons aujourd*hui
j célèbre mathématicien
on, mort en 1617 et qui
i, de Nîmes, dans son
Iciû (volume VH de ses
parle des Baguettes de
e des logarithmes, el/cs
îrité.
tt€sàM.A. Steinhauscr,
es conseils, j*ai pu leur
iâtant la forme primitive
ue cette forme présentait
lat d'une page ordm^
que tout ce qu'on a fait
Duis Cadet (Paris 1797)
idant me année que le
des carrés de tous les
on de laquelle le savant
)orer par ses conseils et
ant à cause de sa grande
appréciables pour tous
de quelque importance
chacun, en y joignant
rsuaâés que nous som-
trouveront en elle un
de la correctitude des
le la commodité.
seph Blaten
- 3 —
Notice explicative relative à l'emploi de la Table.
Chacune des baguettes porte les multiples au dessous de 10 du
chiffre inscrit à la partie supérieure; chacun de ces multiples est
divisé en deux, par un trait oblique et contient un zéro à la place
des dizaines, chaque fois que le multiple est inférieur à 10.
Si maintenant nous considérons deux diagonales consécutives,
nous remarquons qu'elles forment un parallélogramme oblique (V^\
qui porte un chiffre dans chacun de ses deux angles aigus ; Taddition
de ces deux chiffres remplace la multiplication. Cette addition est telle-
ment facile, qu'aucune habileté n'est nécessaire pour trouver le mul-
ti^e directement sur la table: Si nous donnons, par exemple, le
multiplicande 916,358 et le multiplicateur 7, nous lisons facilement
smn = 6,4.4,506.
A l'aide de ces baguettes, on peut donc combiner tous les
nombres qui n'ont pas trop de fois le même chiffre dans le multipli-
cande. — Des baguettes supplémentaires, permettant d'opérer avec
n'importe quel nombre, sont en vente chez l'éditeur.
Multiplication.
Des deux nombres à multi-
plier l'un par l'autre, il est pré-
férable de prendre le plus grand
comme multiplicande formé par
la ligne horizontale, en tête des
baguettes. On prend successi-
vement les chiffres du multi-
plicateur sur la ligne verticale
Index et l'on inscrit les uns sous
les autres les multiples obtenus.
La lecture de ces multiples se
fait nécessairement de droite à
gauche. — Exemple:
916358 X 73819=?
7 = 6414506
3 = 2749074
8 = 7330864
1 = 916358
9 = 8247222
p
9 I 6 3 5 & 7>uur
h'
b-
2\^l\oVl\i\|
4
V V \ V\ V
5
6
\4\6Vb\s\0\8
5\<\^\l\^4\ Il
7
7
S
\2\s\8\4 Y>\4
8
9
WWW
9 1
Cl KiMtl 2thA0^
= 67644631202
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18
dividende == 15474125
xéciproque = 1 1920I93 A B
— 4 —
Division,
Les avantages de la Table pour la résolution d'une division,
sont encore plus grands que pour l'opération précédente, car il
devient inutile de copier les multiples du diviseur, contenus dans
la Table; il peuvent, en effet, être directement soustraits et, dès
lors, il suffit d'inscrire le reste résultant de la soustraction. Grâce
à ces simplifications , l'opération n'emploie plus que la moitié des
chiffres et n'exige plus qu'un temps et qu'un espace de moitié
moindres, que s'il avait fallu faire la division par le procédé ordinaire.
%d*l/
9 I 6 3 5 S
7nJ^
2
i\o\i\^i\i\
2
3
S7\3\8\9\y3Y
AoVi\<\i\a\
3
4
A o^ A A A A
4-
5
»
6
6
1 ^
WWW
ôycXAA A A
7
i ^
V2\8>y8\4\0\4
8
9
8V<XA2\4\7\
'
Exemple:
67644631202 : 916358 =?
67644631202:916358 = 73819
3499571
7504972
174 1080
8247222
0000000
Notons en dernier lieu que, pour les multiplications et les
divisions dans lesquelles entrent des facteurs contenant des fractions
décimales de plusieurs chiffres, et qu'il s'agit d'abréger, le calcul
devient très facile en reculant successivement la dernière baguette
du chiffre à négliger dans le calcul.
:s Ai)., xcr, ^tf "^ -- */-
s
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•-rwi»,. • -. j ..^ ^
rrrr
f " r r lift
^ ^ ^ ^5 6 7-8 9 12345678901254567800
Jndcx
J 2 3 45 6 7 89 I 234567890123456780
Digitized by
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18
dividende = 1547425
léciproque = I192093 A B
8 = 27395
18 n.tab. = 187623
d :
agv.o *£f,
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TABLE
DES
QUARTS DE CABRÉS
DE 200 PAGES
ET
INDEX
DE 4 PAGES
(202—205)
SUIVANT IMMÉDIATEMENT LA TABLE PROPREMENT DITE.
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000 a.
I.
n.
N
+ n
000
001 002 003
004005 006
007008009
N
I
+ n
000
001 003 003
004005006
007008009
A
B
A
B
000
000
000
250
250 351 251 252 252 253
253 254 254
3
4
6
8
I
4
9
16
000
000
000
000
001 002 003
002 004 006
003 006009
004008 012
004005 006
008 010 012
012 015 018
016 020 024
007 008 009
014016018
021 024027
028 032 03Ô
3
5
7
9
2
6
12
20
250
250
250
250
251 253 254
252255257
253 257 260
254 259 263
256 257 259
260 262 265
264 267 271
268 272 277
260 262 263
267 270 272
274 278 281
281 286 290
10
25
000
005 010 015
020 025 030
035040045
II
30
250
255 361 266
272 277 283
288 294 299
13
14
l6
l8
36
49
64
81
000
000
000
000
006012 018
007 014 021
008 016 024
009018 027
024 030 036
028 035 042
032 040 048
036 045 054
042 048 054
049 056 063
056 064 072
063 072 081
13
15
17
19
42
56
72
90
250
250
250
250
256 263 269
257 265 272
258 267 275
259 269 278
276 282 289
280 287 295
284 292 301
288 297 307
295 302 308
302 310 317
309 318 326
316 326 335
20
100
000
010 020 030
040 050 060
070 080 090
21
no
250
2ÛO 271 281
292 302 313
323 334 344
33
34
36
38
121
144
169
196
000
000
000
000
ou 022033
012 024036
013 026039
014 028 042
044 055 066
048 060 072
052 065 078
056 070 084
077 088 099
084 096 108
091 104 117
098 112 126
23
25
27
29
132
156
182
210
250
250
250
250
261 273 284
262 275 287
263 277 290
264 279 293
296 307 319
300 312 325
304 317 331
308 322 337
330 342 353
337 350 362
344358371
351 366 380
30
225
000
015 030045
060075 090
105 120 135
31
240
250
265 281 296
312 327 343
358 374 389
32
34
36
38
256
289
324
361
000
000
000
000
016 032 048
017 034 051
018036054
019 038 057
064080096
068 08 c 102
072 090 108
076 095 1 14
112 128 144
119 136 153
126 144 162
133 152 171
33
35
37
39
272
306
342
380
250
250
250
250
266 283 299
267 285 302
268 287 305
269 289 308
316 332 349
320 337 355
324 342 361
328 347 367
365 382 39S
372 390 407
379 398 416
386 406 42s
40
400
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lOI
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III
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24
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28
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*oo8*022*037
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4083 4086
4212 4215
43434346
4476.4479.
4610 4614.
4747 4751.
4886 4890.
5027. 5030
5170. 5173
5314 5318
5461 5465-
5610 5614.
5761. 5765-
5914. 5917
6068 6072
6225 6229
6384 6388
6545.6549.
6708.6712,
6872 6877.
7039 7043
7208 7212
7379-7383
7552.7556.
7726 7731.
7903 7908.
8082 8087.
8263. 8267
8446. 8450
8630 8635
8817 8822.
9006 9011,
9197.9202,
9390.9394
9584 9589
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99809985
2596.2598
2699. 2701
2804.2806
291 1.291 3
3020. 3022
3130 3133
3243 3246
3358 3361
3475 3478
3594 3597
3715. 3718.
3838.3841,
3963.3966.
4090.4093.
4219.4222.
4349 4353.
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4754 4758.
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